Ein RIMA steht für Autoregressive Integrated Moving Average Modelle. Univariate (Einzelvektor) ARIMA ist eine Prognosemethode, die die zukünftigen Werte einer Serie, die vollständig auf ihrer eigenen Trägheit basiert, projiziert. Seine Hauptanwendung liegt im Bereich der kurzfristigen Prognose mit mindestens 40 historischen Datenpunkten. Es funktioniert am besten, wenn Ihre Daten eine stabile oder konsistente Muster im Laufe der Zeit mit einem Minimum an Ausreißern zeigt. Manchmal nennt man Box-Jenkins (nach den ursprünglichen Autoren), ARIMA ist in der Regel überlegen exponentielle Glättung Techniken, wenn die Daten relativ lange und die Korrelation zwischen vergangenen Beobachtungen ist stabil. Wenn die Daten kurz oder stark flüchtig sind, kann eine gewisse Glättungsmethode besser ablaufen. Wenn Sie nicht über mindestens 38 Datenpunkte verfügen, sollten Sie eine andere Methode als ARIMA betrachten. Der erste Schritt bei der Anwendung der ARIMA-Methodik ist die Überprüfung der Stationarität. Stationarität impliziert, dass die Reihe auf einem ziemlich konstanten Niveau über Zeit bleibt. Wenn ein Trend besteht, wie in den meisten wirtschaftlichen oder geschäftlichen Anwendungen, dann sind Ihre Daten nicht stationär. Die Daten sollten auch eine konstante Varianz in ihren Schwankungen im Laufe der Zeit zeigen. Dies ist leicht zu sehen mit einer Serie, die stark saisonal und wächst mit einer schnelleren Rate. In einem solchen Fall werden die Höhen und Tiefen der Saisonalität im Laufe der Zeit dramatischer. Ohne dass diese Stationaritätsbedingungen erfüllt sind, können viele der mit dem Prozess verbundenen Berechnungen nicht berechnet werden. Wenn eine grafische Darstellung der Daten Nichtstationarität anzeigt, dann sollten Sie die Serie unterscheiden. Die Differenzierung ist eine hervorragende Möglichkeit, eine nichtstationäre Serie in eine stationäre zu transformieren. Dies geschieht durch Subtrahieren der Beobachtung in der aktuellen Periode von der vorherigen. Wenn diese Transformation nur einmal zu einer Reihe erfolgt, sagen Sie, dass die Daten zuerst unterschieden wurden. Dieser Prozess im Wesentlichen eliminiert den Trend, wenn Ihre Serie wächst mit einer ziemlich konstanten Rate. Wenn es mit steigender Rate wächst, können Sie das gleiche Verfahren anwenden und die Daten erneut differenzieren. Ihre Daten würden dann zweite differenziert werden. Autokorrelationen sind Zahlenwerte, die angeben, wie sich eine Datenreihe mit der Zeit auf sich bezieht. Genauer gesagt misst es, wie stark Datenwerte bei einer bestimmten Anzahl von Perioden auseinander über die Zeit miteinander korreliert werden. Die Anzahl der Perioden wird in der Regel als Verzögerung bezeichnet. Zum Beispiel misst eine Autokorrelation bei Verzögerung 1, wie die Werte 1 Periode auseinander in der Reihe miteinander korreliert sind. Eine Autokorrelation bei Verzögerung 2 misst, wie die Daten, die zwei Perioden voneinander getrennt sind, über die gesamte Reihe miteinander korrelieren. Autokorrelationen können im Bereich von 1 bis -1 liegen. Ein Wert nahe 1 gibt eine hohe positive Korrelation an, während ein Wert nahe -1 impliziert eine hohe negative Korrelation. Diese Maßnahmen werden meist durch grafische Darstellungen, sogenannte Korrelagramme, ausgewertet. Ein Korrelationsdiagramm zeigt die Autokorrelationswerte für eine gegebene Reihe bei unterschiedlichen Verzögerungen. Dies wird als Autokorrelationsfunktion bezeichnet und ist bei der ARIMA-Methode sehr wichtig. Die ARIMA-Methodik versucht, die Bewegungen in einer stationären Zeitreihe als Funktion der so genannten autoregressiven und gleitenden Durchschnittsparameter zu beschreiben. Diese werden als AR-Parameter (autoregessiv) und MA-Parameter (gleitende Mittelwerte) bezeichnet. Ein AR-Modell mit nur einem Parameter kann als geschrieben werden. X (t) A (1) X (t-1) E (t) wobei X (t) Zeitreihen A (1) der autoregressive Parameter der Ordnung 1 X (t-1) (T) der Fehlerterm des Modells Dies bedeutet einfach, dass jeder gegebene Wert X (t) durch eine Funktion seines vorherigen Wertes X (t-1) plus einen unerklärlichen Zufallsfehler E (t) erklärt werden kann. Wenn der geschätzte Wert von A (1) 0,30 betrug, dann wäre der aktuelle Wert der Reihe mit 30 seines vorherigen Wertes 1 verknüpft. Natürlich könnte die Serie auf mehr als nur einen vergangenen Wert bezogen werden. Zum Beispiel ist X (t) A (1) X (t-1) A (2) X (t-2) E (t) Dies zeigt an, dass der aktuelle Wert der Reihe eine Kombination der beiden unmittelbar vorhergehenden Werte ist, X (t-1) und X (t-2) zuzüglich eines Zufallsfehlers E (t). Unser Modell ist nun ein autoregressives Modell der Ordnung 2. Moving Average Models: Eine zweite Art von Box-Jenkins-Modell wird als gleitendes Durchschnittsmodell bezeichnet. Obwohl diese Modelle dem AR-Modell sehr ähnlich sind, ist das Konzept dahinter ganz anders. Bewegliche Durchschnittsparameter beziehen sich auf das, was in der Periode t stattfindet, nur auf die zufälligen Fehler, die in vergangenen Zeitperioden aufgetreten sind, dh E (t-1), E (t-2) usw. anstatt auf X (t-1), X T-2), (Xt-3) wie in den autoregressiven Ansätzen. Ein gleitendes Durchschnittsmodell mit einem MA-Begriff kann wie folgt geschrieben werden. X (t) - B (1) E (t-1) E (t) Der Begriff B (1) wird als MA der Ordnung 1 bezeichnet. Das negative Vorzeichen vor dem Parameter wird nur für Konventionen verwendet und in der Regel ausgedruckt Automatisch von den meisten Computerprogrammen. Das obige Modell sagt einfach, dass jeder gegebene Wert von X (t) direkt nur mit dem Zufallsfehler in der vorherigen Periode E (t-1) und mit dem aktuellen Fehlerterm E (t) zusammenhängt. Wie im Fall von autoregressiven Modellen können die gleitenden Durchschnittsmodelle auf übergeordnete Strukturen mit unterschiedlichen Kombinationen und gleitenden mittleren Längen erweitert werden. Die ARIMA-Methodik erlaubt es auch, Modelle zu erstellen, die sowohl autoregressive als auch gleitende Durchschnittsparameter zusammenführen. Diese Modelle werden oft als gemischte Modelle bezeichnet. Obwohl dies für eine kompliziertere Prognose-Tool macht, kann die Struktur tatsächlich simulieren die Serie besser und produzieren eine genauere Prognose. Pure Modelle implizieren, dass die Struktur nur aus AR oder MA-Parameter besteht - nicht beides. Die Modelle, die von diesem Ansatz entwickelt werden, werden in der Regel als ARIMA-Modelle bezeichnet, da sie eine Kombination aus autoregressiver (AR), Integration (I) verwenden, die sich auf den umgekehrten Prozess der Differenzierung bezieht, um die Prognose zu erzeugen. Ein ARIMA-Modell wird üblicherweise als ARIMA (p, d, q) angegeben. Dies ist die Reihenfolge der autoregressiven Komponenten (p), der Anzahl der differenzierenden Operatoren (d) und der höchsten Ordnung des gleitenden Mittelwerts. Beispielsweise bedeutet ARIMA (2,1,1), dass Sie ein autoregressives Modell zweiter Ordnung mit einer ersten gleitenden Durchschnittskomponente haben, deren Serie einmal differenziert wurde, um die Stationarität zu induzieren. Auswahl der richtigen Spezifikation: Das Hauptproblem in der klassischen Box-Jenkins versucht zu entscheiden, welche ARIMA-Spezifikation zu verwenden - i. e. Wie viele AR - und / oder MA-Parameter eingeschlossen werden sollen. Dies ist, was viel von Box-Jenkings 1976 dem Identifikationsprozeß gewidmet wurde. Es hing von der graphischen und numerischen Auswertung der Stichprobenautokorrelation und der partiellen Autokorrelationsfunktionen ab. Nun, für Ihre grundlegenden Modelle, ist die Aufgabe nicht allzu schwierig. Jeder hat Autokorrelationsfunktionen, die eine bestimmte Weise aussehen. Allerdings, wenn Sie gehen in der Komplexität, die Muster sind nicht so leicht zu erkennen. Um es schwieriger zu machen, stellen Ihre Daten nur eine Probe des zugrundeliegenden Prozesses dar. Das bedeutet, dass Stichprobenfehler (Ausreißer, Messfehler etc.) den theoretischen Identifikationsprozess verzerren können. Daher ist die traditionelle ARIMA-Modellierung eher eine Kunst als eine Wissenschaft. Autoregressive integrierte Moving Average ARIMA (p, d, q) Modelle für die Zeitreihenanalyse Im vorherigen Satz von Artikeln (Teile 1. 2 und 3) gingen wir ins Detail Um die linearen Zeitreihenmodelle AR (p), MA (q) und ARMA (p, q). Wir verwendeten diese Modelle zur Generierung von simulierten Datensätzen, angepassten Modellen, um Parameter zurückzugewinnen und diese Modelle dann auf Finanzaktiendaten anzuwenden. In diesem Artikel werden wir eine Erweiterung des ARMA-Modells diskutieren, nämlich das Modell Autoregressive Integrated Moving Average oder das Modell ARIMA (p, d, q). Wir werden sehen, dass es notwendig ist, das ARIMA-Modell zu betrachten, wenn wir nichtstationäre Serien haben. Solche Reihen treten in der Gegenwart von stochastischen Trends auf. Quick Recap und die nächsten Schritte Bisher haben wir die folgenden Modelle betrachtet (die Links führen zu den entsprechenden Artikeln): Wir haben unser Verständnis von Zeitreihen mit Konzepten wie Serienkorrelation, Stationarität, Linearität, Residuen, Korrektrammen, Simulation, Montage, Saisonalität, bedingte Heterosedastizität und Hypothesentests. Bis jetzt haben wir keine Vorhersage oder Prognose aus unseren Modellen durchgeführt und daher keinen Mechanismus zur Herstellung eines Handelssystems oder einer Eigenkapitalkurve gehabt. Sobald wir ARIMA (in diesem Artikel), ARCH und GARCH (in den nächsten Artikeln) studiert haben, sind wir in der Lage, eine grundlegende langfristige Handelsstrategie auf der Grundlage der Vorhersage der Aktienindexrenditen aufzubauen. Trotz der Tatsache, dass ich in viele Details über Modelle, die wir kennen wird letztlich nicht über eine große Leistung (AR, MA, ARMA) gegangen sind, sind wir nun gut versiert in den Prozess der Zeitreihen-Modellierung. Dies bedeutet, dass wir, wenn wir neuere Modelle (und sogar solche, die derzeit in der Forschungsliteratur studieren), über eine wichtige Wissensbasis verfügen, um diese Modelle effektiv zu bewerten, anstatt sie als Schlüssel zu behandeln Verschreibung oder Black Box. Noch wichtiger ist, wird es uns mit dem Vertrauen, um sie zu erweitern und zu modifizieren sie auf unsere eigenen und verstehen, was wir tun, wenn wir es tun Id wie vielen Dank für Ihre Geduld so weit, wie es scheint, dass diese Artikel weit entfernt sind Die eigentliche Handlung des tatsächlichen Handels. Allerdings echte quantitative Handelsforschung ist vorsichtig, gemessen und nimmt erhebliche Zeit, um richtig zu bekommen. Es gibt keine schnelle Lösung oder reiches Schema in quant trading. Wir waren sehr bereit, unser erstes Handelsmodell, das eine Mischung aus ARIMA und GARCH sein wird, zu betrachten. Daher ist es zwingend notwendig, dass wir einige Zeit damit verbringen, das ARIMA-Modell gut zu verstehen. Sobald wir unser erstes Handelsmodell aufgebaut haben, werden wir mehr berücksichtigen Fortgeschrittene Modelle wie Langzeitgedächtnisprozesse, State-Space-Modelle (dh der Kalman-Filter) und Vector Autoregressive (VAR) Modelle, die uns zu anderen, anspruchsvolleren Handelsstrategien führen werden. Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) Modelle der Ordnung p, d, q ARIMA-Modelle werden verwendet, da sie eine nicht stationäre Serie auf eine stationäre Serie reduzieren können, indem sie eine Folge von differenzierenden Schritten verwenden. Wir können uns an den Artikel über weißes Rauschen und zufällige Wanderungen erinnern, daß wir, wenn wir den Differenzoperator auf eine zufällige Wegserie (eine nicht stationäre Reihe) anwenden, mit weißem Rauschen (einer stationären Reihe) verlassen werden: begin nabla xt xt - x wt Ende führt ARIMA diese Funktion im Wesentlichen aus, tut dies jedoch wiederholt d-mal, um eine nicht-stationäre Serie auf eine stationäre zu reduzieren. Um andere Formen der Nicht-Stationarität über stochastische Trends hinaus zu bewältigen, können zusätzliche Modelle verwendet werden. Saisonale Effekte (wie die, die in den Rohstoffpreisen auftreten) können mit dem saisonalen ARIMA-Modell (SARIMA) angegangen werden, aber wir werden nicht über SARIMA viel in dieser Serie diskutieren. Bedingte heteroscedastische Effekte (wie bei Volatilitäts-Clustering in Aktienindizes) können mit ARCH / GARCH angegangen werden. In diesem Artikel werden wir betrachten nicht-stationäre Serie mit stochastischen Trends und passen ARIMA-Modelle zu diesen Serien. Wir werden auch endlich Prognosen für unsere Finanzserie produzieren. Definitionen Vor der Definition von ARIMA-Prozessen müssen wir das Konzept einer integrierten Reihe diskutieren: Integrierte Reihenfolge d Eine Zeitreihe ist in Ordnung d integriert. I (d), wenn: begin nablad xt wt end Das heißt, wenn wir die Serie d mal differenzieren, erhalten wir eine diskrete weiße Rauschenserie. Alternativ können wir mit dem Backward Shift Operator eine äquivalente Bedingung definieren: Nachdem wir eine integrierte Serie definiert haben, können wir den ARIMA Prozess selbst definieren: Autoregressives Integriertes Moving Average Modell der Ordnung p, d, q Eine Zeitreihe ist ein autoregressives integriertes gleitendes Durchschnittsmodell Der Ordnung p, d, q. ARIMA (p, d, q). Wenn nablad xt ein autoregressiver gleitender Durchschnitt der Ordnung p, q, ARMA (p, q) ist. Das heißt, wenn die Reihe d-mal differenziert wird und dann einem ARMA (p, q) - Prozess folgt, dann handelt es sich um eine ARIMA-Reihe (p, d, q). Wenn wir die Polynomnotation aus Teil 1 und Teil 2 der ARMA-Reihe verwenden, dann kann ein ARIMA (p, d, q) - Prozeß in Form des Rückwärtsverschiebungsoperators geschrieben werden. : Wobei wt eine diskrete weiße Rauschreihe ist. Es gibt einige Punkte, um über diese Definitionen zu beachten. Da der zufällige Weg durch xt x wt gegeben ist, kann man sehen, daß I (1) eine andere Darstellung ist, da nabla1 xt wt. Wenn wir einen nicht-linearen Trend vermuten, könnten wir möglicherweise in der Lage sein, wiederholtes Differenzieren (d. h. d gt & sub1;) zu verwenden, um eine Reihe auf stationäres weißes Rauschen zu reduzieren. In R können wir den diff-Befehl mit zusätzlichen Parametern verwenden, z. B. Diff (x, d3), um wiederholte Differenzen auszuführen. Simulation, Correlogram und Modellbefestigung Da wir bereits den Befehl arima. sim verwendet haben, um einen ARMA (p, q) Prozess zu simulieren, wird das folgende Verfahren ähnlich dem in Teil 3 der ARMA Serie durchgeführt. Der Hauptunterschied ist, dass wir nun d1 setzen, dh, wir werden eine nicht-stationäre Zeitreihe mit einer stochastischen Trending-Komponente erzeugen. Nach wie vor passen wir ein ARIMA-Modell zu unseren simulierten Daten an, versuchen, die Parameter wiederherzustellen, Konfidenzintervalle für diese Parameter zu erzeugen, ein Korrelogramm der Residuen des eingebauten Modells zu erstellen und schließlich einen Ljung-Box-Test durchzuführen, um festzustellen, ob wir es haben eine gute Passform. Wir werden ein ARIMA (1,1,1) Modell mit dem autoregressiven Koeffizienten alpha0,6 und dem gleitenden mittleren Koeffizienten beta-0,5 simulieren. Hier ist der R-Code zu simulieren und plotten eine solche Serie: Nun, da wir unsere simulierte Serie werden wir versuchen zu versuchen und passen ein ARIMA (1,1,1) - Modell. Da wir die Reihenfolge kennen, geben wir sie einfach im Fit an: Die Konfidenzintervalle werden berechnet als: Die beiden Parameterschätzungen liegen innerhalb der Konfidenzintervalle und liegen nahe bei den wahren Parameterwerten der simulierten ARIMA-Reihe. Daher sollten wir nicht überrascht sein, die Residuen sehen wie eine Realisierung von diskreten weißen Rauschen zu sehen: Schließlich können wir eine Ljung-Box-Test, um statistische Beweise für eine gute Passform liefern: Wir können sehen, dass der p-Wert ist deutlich größer als 0,05 und als solche können wir sagen, dass es einen starken Beweis für diskrete weiße Rauschen, die eine gute Passung zu den Residuen ist. Daher ist das ARIMA (1,1,1) - Modell, wie erwartet, eine gute Passform. Finanzdaten und Prognosen In diesem Abschnitt werden wir ARIMA-Modelle an Amazon, Inc. (AMZN) und den SampP500 US Equity Index (GPSC, in Yahoo Finance) anpassen. Wir verwenden die Prognose-Bibliothek, geschrieben von Rob J Hyndman. Gehen Sie voran und installieren Sie die Bibliothek in R: Jetzt können wir quantmod nutzen, um die tägliche Preisreihe von Amazon ab Anfang 2013 herunterzuladen. Da wir schon die ersten Bestellunterschiede der Serie genommen haben, wird die ARIMA fit in Kürze durchgeführt Benötigen wir für die integrierte Komponente nicht d gt 0: Wie in Teil 3 der ARMA-Reihe werden wir nun die Kombinationen von p, d und q durchlaufen, um das optimale ARIMA (p, d, q) Modell zu finden. Unter optimaler Bedeutung verstehen wir die Ordnungskombination, die das Akaike Information Criterion (AIC) minimiert: Wir können sehen, dass eine Ordnung von p4, d0, q4 ausgewählt wurde. Bemerkenswert ist d0, wie wir bereits oben besprochen haben: Wenn wir das Korrelogramm der Residuen darstellen, können wir sehen, ob wir Beweise für eine diskrete weiße Rauschenreihe haben: Es gibt zwei signifikante Peaks, nämlich bei k15 und k21, obwohl wir es sollten Erwarten, statistisch signifikante Peaks nur aufgrund der Abtastvariation 5 der Zeit zu sehen. Wir können einen Ljung-Box-Test durchführen (siehe vorherigen Artikel) und sehen, ob wir Beweise für eine gute Passform haben: Wie wir sehen können, ist der p-Wert größer als 0,05 und so haben wir Beweise für eine gute Passform auf der 95-Ebene. Wir können nun den Prognosebefehl aus der Prognosebibliothek verwenden, um 25 Tage vor der Rendite-Serie von Amazon zu prognostizieren: Wir sehen die Punktprognosen für die nächsten 25 Tage mit 95 (dunkelblau) und 99 (hellblau) Fehlerbändern . Wir werden diese Prognosen in unserer ersten Zeitreihenhandelsstrategie verwenden, wenn wir kommen, um ARIMA und GARCH zu kombinieren. Wir können das gleiche Verfahren für den SampP500 durchführen. Zuerst erhalten wir die Daten von quantmod und konvertieren sie in einen täglichen log returns stream: Wir passen ein ARIMA Modell, indem wir die Werte von p, d und q durchlaufen: Die AIC sagt uns, dass das beste Modell die ARIMA (2,0, 1) - Modell. Beachten Sie noch einmal, dass d0, da wir bereits erste Ordnung Unterschiede der Serie genommen haben: Wir können die Residuen des angepassten Modells zu sehen, ob wir Beweise für diskretes weißes Rauschen haben: Das Korrelogram sieht vielversprechend, so dass der nächste Schritt zu laufen ist Die Ljung-Box-Test und bestätigen, dass wir ein gutes Modell passen: Da der p-Wert größer als 0,05 haben wir Beweise für eine gute Modell passen. Warum ist es, dass im vorherigen Artikel unsere Ljung-Box-Test für die SampP500 zeigte, dass die ARMA (3,3) war eine schlechte Passform für die tägliche Log Rückkehr Beachten Sie, dass ich absichtlich beschnitten die SampP500 Daten ab 2013 beginnen in diesem Artikel , Die die volatilen Perioden um 2007-2008 praktisch ausschließt. Daher haben wir einen großen Teil des SampP500 ausgeschlossen, wo wir eine übermäßige Volatilitäts-Clusterbildung hatten. Dies wirkt sich auf die serielle Korrelation der Reihe aus und hat daher die Wirkung, die Serie scheinbar stationärer zu machen als in der Vergangenheit. Dies ist ein sehr wichtiger Punkt. Bei der Analyse von Zeitreihen müssen wir sehr vorsichtig auf bedingt heteroszedierte Serien wie Börsenindizes achten. In quantitativen Finanzen ist der Versuch, Perioden mit unterschiedlicher Volatilität zu bestimmen, oft als Regime-Detektion bekannt. Es ist eine der härteren Aufgaben zu erreichen Nun besprechen diesen Punkt ausführlich im nächsten Artikel, wenn wir die ARCH und GARCH Modelle zu betrachten. Wir können nun eine Prognose für die nächsten 25 Tage der SampP500-täglichen Log-Rückkehr erstellen: Nachdem wir nun die Möglichkeit haben, Modelle wie ARIMA zu installieren und zu prognostizieren, waren wir sehr nahe daran, Strategieindikatoren für den Handel zu schaffen. Nächste Schritte Im nächsten Artikel werden wir einen Blick auf die Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (GARCH) - Modell und verwenden Sie es zu erklären, mehr der seriellen Korrelation in bestimmten Aktien-und Aktienindex-Serie. Sobald wir GARCH besprochen haben, werden wir in der Lage sein, es mit dem ARIMA-Modell zu kombinieren und Signalindikatoren und damit eine grundlegende quantitative Handelsstrategie zu schaffen. Klicken Sie unten, um mehr darüber zu erfahren. 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Allerdings, wenn die quotrandomizequot Taste gedrückt wird, wird eine neue zufällige Serie generiert und verwendet werden. Halten Sie die zufällige Serie identisch ermöglicht es dem Benutzer, genau zu sehen, die Auswirkungen auf die ARMA-Reihe von Änderungen in den beiden Konstanten. Die Konstante ist auf (-1,1) begrenzt, da sich die Divergenz der ARMA-Reihe ergibt. Die Demonstration ist nur für einen Prozess erster Ordnung. Zusätzliche AR-Begriffe würden komplexere Reihen erzeugen, während zusätzliche MA-Begriffe die Glättung erhöhen würden. Für eine detaillierte Beschreibung von ARMA-Prozessen siehe beispielsweise G. Box, G. M. Jenkins und G. Reinsel, Zeitreihenanalyse: Prognose und Kontrolle. 3. Aufl. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Halle, 1994. VERWANDTE VERBINDUNGEN
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